Commutative: Se dit d’une opération mathématique portant sur deux ou plusieurs termes et dont le résultat ne change pas si l’on change l’ordre de ces termes.
Hé bien, dès que j’ai entendu le mot « commutativité » 
dans une vidéo sur laquelle je suis tombé par hasard sur YouTube 
, ça m’a tout de suite replongé dans mes souvenirs de cours de maths au collège 
. Plus précisément, dans ces fameux cours de « maths modernes » dont on parlait dans les années 70 
, où le mot « moderne » était tout nouveau et excitant 
! Je dois avouer que je ne me souvenais plus vraiment de ce que signifiait exactement ce terme de « commutativité » 
. De mémoire, ça me semblait plutôt évident : c’était simplement dire que 3 + 4, c’était la même chose que 4 + 3, non ? Une évidence, quoi 
! Mais, bien sûr, pour un vrai mathématicien, ce n’est pas aussi simple 
. Alors, à partir de cette petite idée toute simple qui, en réalité, cache plein de choses passionnantes 
, je vous propose de vous faire découvrir, avec l’aide d’un vrai mathématicien, tout ce qu’il y a derrière ce terme un peu mystérieux mais finalement pas si compliqué que ça 
. Préparez-vous à voir que la commutativité, ce n’est pas seulement une règle simple, mais une véritable aventure mathématique 
!
Cet extrait de la chaîne YouTube « Micmaths » explique le concept de commutativité, une propriété fondamentale en mathématiques et au-delà. L’auteur définit la commutativité comme la capacité d’accomplir deux actions dans n’importe quel ordre tout en obtenant le même résultat, en utilisant des exemples simples comme l’addition de nombres. Il explore des situations non commutatives, telles que la division, certaines étapes de recettes de cuisine, et même des relations généalogiques, démontrant que l’ordre peut avoir une incidence significative. Le concept est ensuite illustré par des diagrammes visuels et appliqué à l’exemple historique de la mesure du périmètre d’un cercle par Archimède. L’auteur souligne que la présence ou l’absence de commutativité est toujours intéressante, soit parce qu’elle révèle une propriété profonde à comprendre, soit parce qu’elle offre des choix stratégiques, introduisant le « principe du parapluie ».
La commutativité dans la vie courante
Le concept de commutativité s’étend bien au-delà des mathématiques et s’applique à des situations extrêmement variées de la vie de tous les jours. Dès qu’on a plusieurs actions à faire, quel que soit le domaine, on peut se demander si le résultat dépend de l’ordre dans lequel ces actions sont faites.
Voici les exemples quotidiens mentionnés dans la source :
- La cuisine / Suivre une recette de gâteau : En général, l’ordre dans lequel on mélange les ingrédients d’une recette est important. Par exemple, le moment où l’on incorpore la farine peut affecter la présence de grumeaux. Dans la plupart des cas, il y a un intérêt à suivre un ordre particulier, ce qui suggère une non-commutativité. Cependant, la source note que ce n’est pas systématique et qu’il y a « certaines recettes qui sont commutatives ».
- Se promener en ville : Si vous prenez « la première à gauche puis ensuite la première à droite », le résultat (votre destination) peut être différent de celui obtenu en prenant « d’abord la première à droite et ensuite la première à gauche ». Cela dépend du plan de la ville, mais souvent, l’ordre des rues ne commute pas.
- Utiliser un parapluie sous la pluie : L’ordre de l’action « ouvrir le parapluie » et de l’action « marcher sous la pluie » est crucial. Si vous ouvrez d’abord le parapluie puis marchez, vous resterez sec. Si vous marchez d’abord puis ouvrez le parapluie une fois arrivé, vous serez mouillé. Le résultat n’est pas le même selon l’ordre, donc les parapluies ne sont pas commutatifs dans cette situation. Cet exemple est d’ailleurs considéré comme important et non anodin dans la source. Le diagramme de commutativité montre clairement que les deux chemins mènent à des états différents (sec vs mouillé). Plus loin, l’action d’ouvrir le parapluie est présentée comme une action annexe (P) pour permettre l’action principale (M, la marche) dans de bonnes conditions, formant un chemin bas (P puis M puis P⁻¹) pour contourner une difficulté ou améliorer un résultat (arriver sec).
- Les relations généalogiques (« mère » et « fille ») : La question est de savoir si « la mère de votre fille » est la même personne que « la fille de votre mère ».
- Si vous êtes une femme, « la mère de votre fille » est vous-même, et « la fille de votre mère » est également vous-même (ou votre sœur). Dans ce cas, les termes « mère » et « fille » commutent.
- Si vous êtes un homme, « la mère de votre fille » est votre compagne, et « la fille de votre mère » est votre sœur. Ces deux personnes sont différentes (sauf cas très particulier mentionné dans la source), donc les termes « mère » et « fille » ne commutent pas pour les hommes.
Cet exemple montre bien que la commutativité n’est pas toujours un simple oui ou non, mais dépend parfois de conditions particulières (ici, le sexe de la personne). De la même façon, les mots « père » et « fils » commuteront pour les hommes mais pas pour les femmes.
- Formulations linguistiques / Jeux de mots / Slogans : Le langage utilise parfois des formules qui ressemblent à des énoncés de commutativité, qui « sonnent bien à l’oreille ». Des exemples incluent « la route du développement passe par le développement de la route » ou « une Europe unie des États » par opposition à « les États-Unis d’Europe ». Il est parfois difficile de savoir s’il s’agit d’un simple jeu de mots sans message profond ou si la formulation commutative porte une idée intelligente derrière.
Ces exemples illustrent comment le concept de commutativité, initialement mathématique, s’applique à diverses situations de la vie quotidienne, et comment la question de savoir si l’ordre des actions affecte le résultat est pertinente dans de nombreux domaines.