Mais c’est quand même bien plus rigolo à la main n’est-ce pas ?
La géométrie au tableau blanc
C’est vrai qu’avec AutoCAD®, c’est plus rigolo.
La démonstration de la solution par les 2 méthodes est bonne sauf que le type a introduit une nouvelle contrainte où l’hypoténuse a une valeur fixe (ici, c’est 8).
Sans cette valeur, on aurait une infinité de solutions allant de la plus petite surface où les longueurs AB et AC sont égales (i.e. on a un demi carré) et de la plus grande qui tend vers l’infini lorsque la longueur AC tend vers la valeur du diamètre du cercle, alors que AB et l’hypoténuse deviennent presque parallèles et que leur longueurs respectives tendent vers l’infini.
Comme je suis nul en géométrie le fait que l’hypoténuse fasse une longueur de 8 est-il lié au fait que le cercle ait un rayon de 1 @serge.camire ?
Non. Admettons d’abord que le rayon du cercle soit obligatoirement fixé (peu importe sa valeur) mais pas l’hypoténuse. Imaginons ensuite que les 3 segments du triangle soient bandes élastiques (de façon presque illimitée).
Commençons avec un cas simple. Avec un cercle de rayon 1.0, nous pourrions dessiner le plus petit triangle avec des cotés égaux de 3.41421356 (ou 2.0 + racine de 2.0). Le point de rencontre entre le cercle et l’hypoténuse serait la coordonnée 1.70710678,1.70710678 (ou plus exactement « (1.0,1.0) » + « (cos(45),sin(45)) »).
Maintenant, tout ce qu’on peut faire en étirant le segment horizontal AC pourrait se faire de façon symétrique sur le segment vertical AB. On ne va simuler que le premier cas. Pour qu’on situe dans l’espace, rappelons que notre cercle entrerait dans un cercle de 2x2.
Si on tire une ligne depuis la coordonnée 2.1,0.0 (i.e. légèrement en dehors du carré imaginaire) et qu’on la force à être tangente au cercle, on aura forcément un point de rencontre différent de tantôt. Pour sauver du temps, j’ai utilisé AutoCAD®. Ce point de contact tangent au cercle est 1.99547511,1.09502262. En prolongeant, la droite croise l’axe Y à 0,22.000.
Par comparaison, la surface du premier triangle était de 5.82842712 unités. L’aire du second est de 23.10000000 unités.
Si on recommence avec une droite partant de 2.0000000000001,0.0 (un chouia à l’extérieur du carré), la pointe supérieure du triangle sera beaucoup plus haute, et l’aire sera beaucoup plus grande.
Évidemment, on ne pourra jamais tirer une droite depuis 2.0,0.0 car la tangente au cercle serait parallèle à l’axe Y et on ne pourrait plus dessiner un triangle, du moins en géométrie euclidienne (ceci dépasse ce sujet).