Il existe plusieurs manières de monter un escalier. On peut le faire de façon classique, marche après marche, ou bien en sautant les marches deux par deux. On peut même varier, en alternant entre monter une marche, puis deux, ou en suivant des séquences plus irrégulières comme 2-1-1-2-2-1.
La question naturelle qui se pose alors est : de combien de façons différentes peut-on monter un escalier ? Prenons un exemple : un escalier de 14 marches. Énumérer toutes les possibilités serait laborieux et source d’erreurs. En mathématiques, on commence souvent par simplifier le problème. Ici, on réduit le nombre de marches pour comprendre la logique.
- Avec 1 marche, il n’y a qu’une seule façon : on monte une marche.
- Avec 2 marches, il y a deux options : 1-1 ou 2.
- Avec 3 marches, on a trois possibilités : 1-1-1, 1-2, ou 2-1.
À ce stade, une logique semble émerger : le nombre de façons de monter n marches est lié aux deux nombres précédents. Pour le vérifier, calculons pour 4 marches :
- 1-1-1-1 (1 façon)
- 2-2 (1 façon)
- 1-1-2, 1-2-1, 2-1-1 (3 façons).
Au total, il y a 5 façons de monter 4 marches. On remarque alors que le nombre pour 4 marches (5) est la somme des façons pour 3 marches (3) et pour 2 marches (2).
Cette relation correspond à la suite de Fibonacci :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … où chaque terme est la somme des deux précédents.
En appliquant cette logique, on peut calculer rapidement :
- Pour 5 marches : 3 (pour 3 marches) + 5 (pour 4 marches) = 8 façons.
- Pour 6 marches : 5 (pour 4 marches) + 8 (pour 5 marches) = 13 façons.
En continuant ainsi, on peut déterminer qu’il existe 610 façons de monter un escalier de 14 marches. Grâce à la suite de Fibonacci, on évite les erreurs d’énumération et on arrive à un résultat précis en un temps réduit.
Cette méthode mathématique est à la fois élégante et efficace, révélant la beauté cachée dans un simple problème d’escalier.